O ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ TOY ΚΥΚΛΟΥ Τρεῖς εἰδικοὶ σχολιάζουν τήν λύση τοῦ κ. K. Καρμιράντζου («Δαυλός», τ. 200-1) 1. Προσεγγιστικὴ καί ὄχι γεωμετρικὴ ἡ λύση Ἀξιότιμε κ. Λάμπρου, Λόγω εἰδικότητος διάβασα μὲ μεγάλη προσοχὴ τὸ ἄρθρο τοῦ συναδέλφου ἀρχιτέκτονος κ. Κωνσταντίνου Καρμιράντζου. «Ὁ τετραγωνισμὸς τοῦ κύκλου»(«Δαυλός», τεῦχος 200- 201), τὸ ὁποῖο ἔθεσε ὑπ’ ὄψιν τοῦ γραφείου μας πρὶν λίγες μέρες ὁ φίλος καὶ συνεργάτης κ. Γεώργιος Κυριαζῆς, ἐπίσης ἀρχιτέκτων. Στὸ πολὺ ἐνδιαφέρον αὐτὸ ἄρθρο ἂς μοῦ ἐπιτρα- ποῦν τρεῖς παρατηρήσεις: A. Ἡ ἑρμηνεία τῆς ἐκφράσεως «μὲ τὸν κανόνα καὶ τὸν διαβήτη», ποὺ δίδεται στὴν ἀρχὴ τοῦ ἄρθρου, δὲν εἶναι ὀρθή. Ἡ λύση τῶν προβλημάτων μὲ τὸν κανόνα καὶ τὸν διαβήτη ἐπε- κράτησε ἀπὸ τὴν ἀρχαιότητα γιὰ τὸν ἑξῆς λόγο: Μὲ ἐκπροσώπους τὸν Πυθαγόρα καὶ πά- νω ἀπ’ ὅλους τὸν Πλάτωνα ἡ γεωμετρία ἐλήφθη ὡς μέσον προσεγγίσεως τῆς ἐννοίας τοῦ ὄντος, δηλ. τοῦ θεοῦ. Ὁ Πλάτων πιστεύει, ὅτι ἡ ἔννοια τοῦ ὄντος, γιὰ νὰ γίνῃ κατανοητή, χρειάζεται τὴν ἔννοια τοῦ μὴ ὄντος· καὶ ὡς τέτοιο θεωρεῖ τὸν χῶρο, μέσα στὸν ὁποῖο ἐμφα- νίζεται τὸ «γίγνεσθαι» καὶ τὸ «φθείρεσθαι». Ὁ Ἥρων ὁ Ἀλεξανδρεὺς μᾶς πληροφορεῖ γιὰ τὶς ἀκόλουθες ἀπόψεις τοῦ Πλάτωνος: Ἡ εὐθεῖα γραμμή, ἐπειδὴ ἐκτείνεται στὸ ἄπειρο καὶ χωρίζεται σὲ ὁσαδήποτε εὐθύγραμμα τμήματα, συμβολίζει τὴν αἰώνια γένεσι καὶ φθορὰ τοῦ κόσμου. Ἡ περιφέρεια, ἐπειδὴ δὲν ἔχει ἀρχὴ καὶ τέλος, συμβολίζει τὸ «πνεῦμα», τὸ θεό. Ἡ τομὴ τῆς εὐθείας καὶ τῆς περιφέρειας συμβολίζει τὴν ψυχὴ τοῦ ἀνθρώπου, γιατὶ ἡ ψυχὴ μετέχει μαζὺ μὲ τὸ σῶμα στὴ γένεσι καὶ τὴ φθορὰ καὶ μὲ τὴν ἀθανασία της στὸ θεῖο. B. Ἡ κατασκευὴ ποὺ προτείνεται στὸ ἄρθρο βασίζεται στὴν παραδοχὴ ὅτι τὸ π ἰσοῦται (ἀκριβῶς) μὲ 6 (1+φ)/5 ἢ (ἰσοδυνάμως) στὴν παραδοχὴ ὅτι τὸ π ἰσοῦται (ἀκριβῶς) μὲ 3(3+�5�)/5 [διότι φ= (1+�5�)2, ὅπως προκύπτει ἀπὸ τὴν ἀκριβῆ ἐπίλυση τῆς ἐξισώσεως ποὺ ὑπαινίσσεται ἡ παράγραφος 3.β τοῦ ἄρθρου]. Ἡ παραδοχὴ ὅμως αὐτὴ ἀπορρίπτεται (πλήρως) στὴν θεωρητικὴ γεωμετρία, γιὰ τὴν ὁποία ἡ τιμὴ 3(3+�5�)/5 ἀποτελεῖ πάντοτε προσέγγισι τοῦ π (ἀνεξαρτήτως τοῦ πόσο «καλὴ» εἶναι γιὰ τὶς πρακτικὲς ἐφαρμογές) καὶ ὄχι τὸ ἴδιο τὸ π (στὴν θεωρητικὴ γεωμετρία δὲν ὑπάρχουν δύο π). Ἔτσι τὸ εὐθύγραμμο τμῆμα ΛΖ τῆς κατασκευῆς τοῦ ἄρθρου εἶναι κατὰ τὴν θεωρητικὴ γεωμετρία περίπου πR καὶ συνεπῶς τὸ ὀρθογώνιο ΛΖΜΝ ἔχει ἐμβαδὸν περίπου πR2. Γ. Γιὰ νὰ δείξω τὸ κατ’ οὐσίαν «τρὺκ» στὴν ἐπίλυση τοῦ προβλήματος «τετραγωνισμὸς τοῦ κύκλου» μέσω τῆς (λανθασμένης γιὰ τὴν θεωρητικὴ γεωμετρία) ἐξισώσεως π=3(3+�5�)/5, παραθέτω τὴν ἀκόλουθη κατασκευή, πιστεύω ἁπλούστερη αὐτῆς τοῦ ἄρθρου (βλ. σχέδιο μεθεπόμενης σελίδας). Δοθέντος κύκλου (O, R) (βλ. σχῆμα), κατασκευάζω ὀρθογώνιο τρίγωνο OKN (ὀρθὴ γω- νία στὸ O) μὲ (OK) = R καὶ (ON)=2R. Στὴν προέκτασι τῆς ὑποτεινούσης KN λαμβάνω εὐθύγραμμο τμῆμα (NZ)= 3R καὶ διαιρῶ τὸ τμῆμα ZK σὲ πέντε ἴσα τμήματα (μέσω τῆς βοη- θητικῆς ἡμιευθείας ZX). Τὸ σημεῖο Λ ἐπὶ τοῦ τμήματος ZK, τὸ ὁποῖο ἀπέχει ἀπὸ τὰ Z τὰ 3/5 τοῦ ZK, εἶναι τέτοιο, ὥστε (ΖΛ)= πR. Πράγματι: (KN)= R�5�(ἀπὸ τὸ Πυθαγόρειο θεώρημα στὸ τρίγωνο OKN) (KZ)= (KN)+(NZ)= R�5�+3R= R(3+�5�) (ΛΧ)= 3(3+�5�)R/5= πR.