ΣΑΡΑΝΤΟΣ ΠΑΝ Τὰ Ἑλληνιχκὰ Μαθηματικὰ ΟΙΒΑΡΕΙΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΗΣ ΛΑΘΡΑΙΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΤΟΥ «ΜΗΔΕΝ» ΣΤΗΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ Α' Τὸ Ἕν καὶ ἡ Μονὰς «Μονάς ἐστι, καθ’ ἦν ἕκαστον τῶν ὄντων ἕν λέγεται" ἀριθμὸς δὲ τὸ ἐκ “μονάδων συγκεί- μενον πλῆθος» (Εὐκλείδης, Βιθλίον ΝΗΠ, «ὉΟρισμοὶ» 1, 2).᾽ Αρα ἡ μονάς, τὸ ἕν δὲν εἶναι ἀριθμὸς ατὰ τὸν Εὐκλείδη. Σύμφωνα μὲ τὸν ᾿Αριστοτέλη «τὸ ἕνα σηµαίνει µονάδα µε: τρήσεως χάποιου πλή θους, ἐνῶ ὁ ἀριθμὸς μετρημένο πλῆ θος ἡ ἢ πλή θος μέτρων. Γι αὐτὸ καὶ εὐλόγως λέγομεν, ὅτι τὸ ἕνα δὲν εἰναι ἀριθμός, ὅπως καὶ τὸ μέτρο δὲν εἶναι μέτρα. Τὸ μέτρο καὶ τὸ ἕνα ἀποτελοῦν ἀργὴν» («Μετὰ τὰ φυσικὰ» 1088, Ν, 1). ὋὉ Θέων ὁ Σμυρναῖος ὁρίζει τὴν μονάδα ὡς περαίνουσα ποσότητα (ἀρχὴ καὶ στοιχεῖο τῶν ἀριθμῶν), ἡ ὁποία -ἀφοῦ ἐλαττώνεται τὸ πλῆθος τῶν μονάδων χατὰ τὴν διαδοχιχὴν ἀφαίρεση-- στερη θεῖσα τῆς ἐννοίας τοῦ ἀκεραίου ἀριθμοῦ, λαμθάνει «μονὴν» καὶ «στά- σιν». δηλαδὴ ἀπομένει καὶ στέκει μόνη της. Ο Θέων (ποὺ ἐ ἐπίσης δὲν θεωρεῖ τὴν μονάδα ἀριθμὸ) μᾶς παρέχει καὶ τὴν ἐτυμολογία τῆς λέξεως μονάς, τὴν ὁποία λαμθάνει ἀπ᾿ τὸ «ἀπομένειν» καὶ τὸ «μόνη» (Εὖ. Σταμάτης, ᾿Ιστορία τῶν ᾿ Ελληνικῶν Μαθηματικῶν, σελ. 66). Ὃ Ἥρων ὁ ᾿Αλεξανδρεὺς μᾶς πληροφορεῖ, ὅτι «οἱ Πυθαγόρειοι τὴν μονάδα λέγου- σι “στιγμὴν ἄθετον, τὴν δὲ στιγμὴν (Ξ το γεωμετρικὸ σημεῖο) θέσιν ἐ ἔχουσαν» (ὅ. π.). «Εὰν τώρα τὸ ἕν “ἀντιστοιχεῖ πρὸς τὸ μόνος (ἐπικὸν μοῦνος, ὅπως ἀνευρίσχομε τῇ λέξη στὸν Ὅμηρο καὶ Ἡσίοδο, καὶ ἀναφέρεται στὸ ὃν ἄνθρωπος { ἢ σὲ κάποιο ὃν ἢ σ᾽ αὐτὴ τὴ δη- μιουργία), τίποτε δὲν ὑ ὑπάρχει ποὺ νὰ εἶναι στὴν πραγματικότητα “Ἔν, ἀλλὰ εἶναι ἕνα συ- νολο, τὸ ὁποῖο ἁπαρτίζεται ἀπὸ ὑποσύνολα, ποὺ τὸ συγκροτοῦν» (Ἢ. Τσατσόμοιρος, «Δαυλὸς», τ. 92-93/1989), Κατὰ τὸν ᾿Αριστοτέλη «σύνολον λέγεται κάτι, ἀπὸ τὸ ὁποῖο δὲν λείπει κανένα ἐκ τῶν μερῶν αὐτοῦ, δάσει τῶν ὁποίων ἀποκαλεῖται κατὰ φύσιν ὅλον, καὶ κατὰ τὸ περιέχον τὰ περιεχόμενα, ὥστε καὶ αὐτὰ μετ] αὐτοῦ ν ᾽ἀποτελοῦν ἕ ἕν. Τοῦτο ὅμως γίνεται διττῶς: ἢ διό- τι ὡς ἕκαστον εἶναι ἕν ἢ διότι ὡς περιέχον τὰ ἐν αὐτῷ περιεχόμενα συγκροτεῖται καὶ πά- λι εἰς ἕν, ᾿Εκ τοῦ λόγου ὅτι: τὸ καθόλου καὶ τὸ ὅλως ἐχφωνεῖται ὡς κάποιο ἑνιαῖο ὄν, ὡς ἐὰν ἤτο ἕνα σύνολον (καθόλου καὶ ὅλως), διότι ἐμπερικλείει πολλά, καὶ ἅπαντα συγκρο- τοῦν ἕν. Τούτων δ᾽ αὐτῶν οὕτως ἐχόντων, αὐτὰ ἀφοροῦν μᾶλλον εἰς ὅσα προέρχονται ἐκ φύσεως παρὰ ἐκ τῆς τέχνης καὶ κατέστησαν ἕν' νομίζω δὲ ὅτι ἰσχύουν ἐπίσης τὸ ἴδιο μετὰ τῆς ἑνότητος» («Μετά τὰ Φυσικά», 1023, Δ, 26). ᾿Απὸ τὰ μέχρι τοῦδε συνάγεται, ὅτι τὸ «ἕν» ἀναφέρεται σὲ σύνολο, κι ὅτι σύνολο λέγεται τὸ ὅλον, τὸ ὁποῖο δὲν στερεῖται κανένα ἀπ’ τὰ ἐπιμέρους στοιχεῖα του, τὰ ὁποῖα, εὐτάκτως καὶ ἀποτελεσματικῶς ἁρμοσμένα, σχηµα- τίζουν ἕν ὅλον, «οὐ μη δέν ἐστι ἔξω». Τὸ ἕν μπορεῖ νὰ ἐξετασθῆ καὶ ὡς κάτι αὐτὸ καθ᾽ ἑαυτό: «Ἔν αὐτὸ καθ᾽ ἑαυτὸ λέγεται κάτι, ὅταν εἰναι συνεχὲς π.χ. μία γραμμή, ἕνας κορμὸς δένδρου, ἕνας δραχίων, ἕνα σκέλος, ἕνας ἄνθρωπος κ.λπ.» (ὅ.π.). Καὶ σ᾽ αὐτὴν τὴν περίπτωση ὅμως ἰσχύει ὁ περὶ πληρότητος τοῦ ὅλου κανόνας. Ὃ ἄνθρωπος, ὁ ὄραχίων, τὸ σκέλος πρέπει ν᾿ ἀνταποχρίνωνται στὴν ἀντίστοιχη ἔννοια, πρέπει δηλαδὴ νά ἔχουμε ἕναν (ὁλόκληρο) ἄνθρωπο ἢ 6ραχίονα ἣ σκέλος. Ὑπάρχουν θέθαια καὶ οἱ χλασματικὲς ἢ δεκαδικὲς ἢ μιγαδικὲς μονάδες" π.χ. ἕν δεύτε- ρον, ἕν δέκατον χ.ο.κ. Καὶ γι) αὐτὲς ἰσχύει -καὶ πρέπει νὰ τὸ προσέξουμε αὐτὸ-- ὁ κανό- νας τῆς πλη ρότητος, ἀλλὰ μαζὶ μ᾽ αὐτὸν καὶ τοῦ ἰσοπόσου. Τὸ ἕν τρίτον γιὰ παράδειγµα εἶναι ἀχριθῶς ἴσο μὲ ἕνα ἕκαστο τῶν ὑπολοίπων δύο τρίτων, τὰ ὁποῖα ἑνούμενα σχημα- τίζουν μιὰ πλήρη μονάδα. Τυχαῖες ἢ ἀνισομερεῖς κλάσεις τοῦ ὄντος δὲν δημιουργοῦν κλά-