ΔΗΜ. K. ΜΑΡΓΕΤΗΣ Μία ἄμεσος γεωμετρικὴ ἀπόδειξις στηριζομένη εἰς τὰ Στοιχεῖα του Εὐκλείδη H ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΥ KAI ΠΛΕΥΡΑΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ [Δημοσιεύω εἰς τὸν «Δαυλὸν» συνοπτικὴν γεωμετρικὴν ἀπόδειξιν τῆς ἀσυμμετρίας τῆς διαγωνίου τοῦ τετραγώνου πρὸς τὴν πλευρὰν αὐτοῦ. Θεωρῶ ταπεινῶς ὅτι ἡ γεωμετρικὴ ἀπόδειξις εἶναι σαφὴς καὶ ἄμεσος καὶ ὅτι, ἐξ ὅσων γνωρίζω, παρουσιάζεται διὰ πρώτην φορὰν εἰς τὴν διεθνῆ βιβλιογραφίαν. Ἡ ἐν λόγῳ γεωμετρικὴ ἀπόδειξις στηρίζεται ἀπολύτως εἰς τὴν Πρότασιν 2 τοῦ 10ου βιβλίου τῶν «Στοιχείων» τοῦ Εὐκλείδου, ἐνῶ ἄλλοι ἀλλοεθνεῖς συγγραφεῖς προβαίνουν ἐμμέσως εἰς τὴν γεωμετρικὴν ἀπόδειξιν τῆς ἐν λόγω ἀσυμμετρίας, στηριζόμενοι εἰς τὴν Πρότασιν 3 τοῦ ἰδίου βιβλίου τῶν «Στοιχείων» τοῦ Εὐκλείδου (βλέπετε Th. Heath, «Ἱστορία τῶν Ἑλληνικῶν Μαθηματικῶν»,σελ. 206-209). Ἡ ἀσυμμετρία τῆς διαγωνίου τοῦ τετραγώνου πρὸς τὴν πλευρὰν αὐτοῦ εἶχεν ἀποδειχθῆ ἀπὸ τὴν ἐποχὴν τοῦ Πυθαγόρα καὶ ἔχει περιληφθῆ μία «ἀριθμοθεωρητικὴ» ἀπόδειξις εἰς τὰ «Στοιχεῖα» τοῦ Εὐκλείδου. Θεωρῶ λοιπὸν ὅτι ἡ γεωμετρικὴ ἀπόδειξίς μου ἔχει ἱστορικὴν ἀξίαν. – Δ.K.M.] Πρὸς ἀπόδειξιν (γεωμετρικὴν) θὰ στηριχθῶμεν ἀπολύτως εἰς τὴν Πρότασιν 2 τοῦ 10ου βιβλίου τῶν Στοιχείων τοῦ Εὐκλείδου, ἡ ὁποία λέγει τὰ ἑξῆς: «Ἐὰν δοθῶσι δύο ἄνισα μεγέθη καὶ ἀνθυφαιρῆται πάντοτε τὸ μικρότερον ἀπὸ τοῦ μεγαλυτέρου, τὸ ἑκάστοτε δὲ ὑπόλοιπον οὐδέποτε καταμετρῇ τὸ πρὸ ἑαυτοῦ, τὰ μεγέθη θὰ εἶναι ἀσύμμετρα». (Εὐκλείδου, «Στοιχεῖα», τόμος 3ος, ἔκδοσις ὑπὸ Εὐαγ. Σ. Σταμάτη, Ἀθῆναι 1956). ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ. Κατασκευάζομεν τετράγωνον ΑΒΓΔ πλευρᾶς AB=1 καὶ φέρομεν τὴν διαγώνιον αὐτοῦ ΑΓ=(cid:2)2(cid:3). Μὲ κέντρον τὸ Γ καὶ ἀκτῖνα τὴν πλευρὰν ΓΔ τοῦ τετραγώνου φέρομεν περιφέρειαν κύκλου (Γ, ΓΔ) ἡ ὁποία τέμνει τὴν διαγώνιον ΑΓ εἰς τὸ σημεῖον E, ὅπου ἔχομεν τὸ τμῆμα AE, ποὺ εἶναι τὸ πρῶτον ὑπόλοιπον ἀπὸ τὴν καταμέτρησιν τῆς διαγωνίου ΑΓ ὑπὸ τῆς πλευρᾶς ΓΔ. Εἰς τὸ σημεῖον E φέρομεν ἐφαπτομένην ἢ ὑψώνομεν κάθετον, ἡ ὁποία τέμνει τὴν πλευρὰν ΑΔ εἰς τὸ σημεῖον K. Μὲ κέντρον τὸ K καὶ ἀκτῖνα ΚΔ φέρομεν περιφέρειαν κύκλου (K, ΚΔ), ἡ ὁποία τέμνει τὴν πλευρὰν ΑΔ εἰς τὸ σημεῖον Z, ὅπου τὸ τμῆμα AZ εἶναι τὸ δεύτερον ὑπόλοιπον ἀπὸ τὴν καταμέτρησιν τῆς πλευρᾶς ΑΔ ὑπὸ τοῦ AE= πρώτου ὑπολοίπου. Εἰς τὸ σημεῖον Z φέρομεν ἐφαπτομένην τοῦ κύκλου (K, ΚΔ) ἢ ὑψώνομεν κάθετον, ἡ ὁποία τέμνει τὴν διαγώνιον ΑΓ εἰς τὸ σημεῖον Λ. Μὲ κέντρον τὸ σημεῖον Λ καὶ ἀκτῖνα ΛΕ φέρομεν περιφέρειαν κύκλου, ἡ ὁποία τέμνει τὴν διαγώνιον ΑΓ εἰς τὸ σημεῖον Θ, ὅπου τὸ τμῆμα ΑΘ εἶναι τὸ τρίτον ὑπόλοιπον ἀπὸ τὴν καταμέτρησιν τοῦ AE= πρῶτον ὑπόλοιπον, ὑπὸ τοῦ AZ= δεύτερον ὑπόλοιπον. Καὶ πάλιν εἰς τὸ σημεῖον Θ φέρομεν ἐφαπτομένην τοῦ κύκλου (Λ, ΛΕ), ἡ ὁποία τέμνει τὴν ΑΔ εἰς τὸ σημεῖον M. Μὲ κέντρον τὸ σημεῖον M καὶ ἀκτῖνα MZ φέρομεν περιφέρειαν κύκλου (M, MZ), ἡ ὁποία τέμνει τὴν πλευρὰν ΑΔ εἰς τὸ σημεῖον H, ὅπου τὸ AH εἶναι τὸ τέταρτον ὑπόλοιπον ἀπὸ τὴν καταμέτρησιν τοῦ τμήματος AZ= δευτέρου ὑπολοίπου, ὑπὸ τοῦ τμήματος ΑΘ=τρίτου ὑπολοίπου. Δι’ αὐτοῦ τοῦ τρόπου σχεδιάζοντες δυνάμεθα νὰ λαμ-