ΔΗΜ. K. ΜΑΡΓΕΤΗΣ Μία ἄμεσος γεωμετρικὴ ἀπόδειξις στηριζομένη εἰς τὰ Στοιχεῖα του Εὐκλείδη H ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΥ KAI ΠΛΕΥΡΑΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ [Δημοσιεύω εἰς τὸν «Δαυλὸν» συνοπτικὴν γεωμετρικὴν ἀπόδειξιν τῆς ἀσυμμετρίας τῆς διαγωνίου τοῦ τετραγώνου πρὸς τὴν πλευρὰν αὐτοῦ. Θεωρῶ ταπεινῶς ὅτι ἡ γεω- μετρικὴ ἀπόδειξις εἶναι σαφὴς καὶ ἄμεσος καὶ ὅτι, ἐξ ὅσων γνωρίζω, παρουσιάζεται διὰ πρώτην φορὰν εἰς τὴν διεθνῆ βιβλιογραφίαν. Ἡ ἐν λόγῳ γεωμετρικὴ ἀπόδειξις στηρίζεται ἀπολύτως εἰς τὴν Πρότασιν 2 τοῦ 10ου βιβλίου τῶν «Στοιχείων» τοῦ Εὐκλεί- δου, ἐνῶ ἄλλοι ἀλλοεθνεῖς συγγραφεῖς προβαίνουν ἐμμέσως εἰς τὴν γεωμετρικὴν ἀπό- δειξιν τῆς ἐν λόγω ἀσυμμετρίας, στηριζόμενοι εἰς τὴν Πρότασιν 3 τοῦ ἰδίου βιβλίου τῶν «Στοιχείων» τοῦ Εὐκλείδου (βλέπετε Th. Heath,«Ἱστορία τῶν Ἑλληνικῶν Μαθημα- τικῶν»,σελ. 206-209). Ἡ ἀσυμμετρία τῆς διαγωνίου τοῦ τετραγώνου πρὸς τὴν πλευρὰν αὐτοῦ εἶχεν ἀπο- δειχθῆ ἀπὸ τὴν ἐποχὴν τοῦ Πυθαγόρα καὶ ἔχει περιληφθῆ μία «ἀριθμοθεωρητικὴ» ἀπόδειξις εἰς τὰ «Στοιχεῖα» τοῦ Εὐκλείδου. Θεωρῶ λοιπὸν ὅτι ἡ γεωμετρικὴ ἀπόδει- ξίς μου ἔχει ἱστορικὴν ἀξίαν. – Δ.K.M.] Πρὸς ἀπόδειξιν (γεωμετρικὴν) θὰ στηριχθῶμεν ἀπολύτως εἰς τὴν Πρότασιν 2 τοῦ 10ου βιβλίου τῶν Στοιχείων τοῦ Εὐκλείδου, ἡ ὁποία λέγει τὰ ἑξῆς: «Ἐὰν δοθῶσι δύο ἄνισα μεγέθη καὶ ἀνθυφαιρῆται πάντοτε τὸ μικρότερον ἀπὸ τοῦ μεγαλυτέρου, τὸ ἑκάστοτε δὲ ὑπόλοιπον οὐδέποτε καταμετρῇ τὸ πρὸ ἑαυτοῦ, τὰ μεγέθη θὰ εἶναι ἀσύμ- μετρα». (Εὐκλείδου, «Στοιχεῖα», τόμος 3ος, ἔκδοσις ὑπὸ Εὐαγ. Σ. Σταμάτη, Ἀθῆναι 1956). ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ. Κατασκευάζομεν τετράγωνον ΑΒΓΔ πλευρᾶς AB=1 καὶ φέρομεν τὴν διαγώνιον αὐτοῦ ΑΓ=�2�. Μὲ κέντρον τὸ Γ καὶ ἀκτῖνα τὴν πλευρὰν ΓΔ τοῦ τε- τραγώνου φέρομεν περιφέρειαν κύκλου (Γ, ΓΔ) ἡ ὁποία τέμνει τὴν διαγώνιον ΑΓ εἰς τὸ σημεῖον E, ὅπου ἔχομεν τὸ τμῆμα AE, ποὺ εἶναι τὸ πρῶτον ὑπόλοιπονἀπὸ τὴν κα- ταμέτρησιν τῆς διαγωνίου ΑΓ ὑπὸ τῆς πλευρᾶς ΓΔ. Εἰς τὸ σημεῖον E φέρομεν ἐφα- πτομένην ἢ ὑψώνομεν κάθετον, ἡ ὁποία τέμνει τὴν πλευρὰν ΑΔ εἰς τὸ σημεῖον K. Μὲ κέντρον τὸ K καὶ ἀκτῖνα ΚΔ φέρομεν περιφέρειαν κύκλου (K, ΚΔ), ἡ ὁποία τέμνει τὴν πλευρὰν ΑΔ εἰς τὸ σημεῖον Z, ὅπου τὸ τμῆμα AZ εἶναι τὸ δεύτερον ὑπόλοιπον ἀπὸ τὴν καταμέτρησιν τῆς πλευρᾶς ΑΔ ὑπὸ τοῦ AE= πρώτου ὑπολοίπου. Εἰς τὸ σημεῖον Z φέρομεν ἐφαπτομένην τοῦ κύκλου (K, ΚΔ) ἢ ὑψώνομεν κάθετον, ἡ ὁποία τέμνει τὴν διαγώνιον ΑΓ εἰς τὸ σημεῖον Λ. Μὲ κέντρον τὸ σημεῖον Λ καὶ ἀκτῖνα ΛΕ φέρομεν περιφέρειαν κύκλου, ἡ ὁποία τέμνει τὴν διαγώνιον ΑΓ εἰς τὸ ση- μεῖον Θ, ὅπου τὸ τμῆμα ΑΘ εἶναι τὸ τρίτον ὑπόλοιπονἀπὸ τὴν καταμέτρησιν τοῦ AE= πρῶτον ὑπόλοιπον, ὑπὸ τοῦ AZ= δεύτερον ὑπόλοιπον. Καὶ πάλιν εἰς τὸ σημεῖον Θ φέρομεν ἐφαπτομένην τοῦ κύκλου (Λ, ΛΕ), ἡ ὁποία τέμνει τὴν ΑΔ εἰς τὸ σημεῖον M. Μὲ κέντρον τὸ σημεῖον M καὶ ἀκτῖνα MZ φέρομεν περιφέρειαν κύκλου (M, MZ), ἡ ὁποία τέμνει τὴν πλευρὰν ΑΔ εἰς τὸ σημεῖον H, ὅπου τὸ AH εἶναι τὸ τέταρτον ὑπό- λοιπονἀπὸ τὴν καταμέτρησιν τοῦ τμήματος AZ= δευτέρου ὑπολοίπου, ὑπὸ τοῦ τμή- ματος ΑΘ=τρίτου ὑπολοίπου. Δι’ αὐτοῦ τοῦ τρόπου σχεδιάζοντες δυνάμεθα νὰ λαμ-