O ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ TOY ΚΥΚΛΟΥ Οἱ ἀρχαῖοι Ἕλληνες ἤξεραν τὴ λύση του; 1. TO ΙΣΤΟΡΙΚΟ Ἀπὸ τὰ θρανία τοῦ Δημοτικοῦ μαθαίνουμε, ὅτι τὸ κατ’ ἐξοχὴν ἄλυτο πρόβλημα εἶναι ὁ τετραγωνισμὸς τοῦ κύκλου. Καὶ στὸ Γυμνάσιο φράσεις ὅπως «εἶναι τρελλός, τετραγώνισε τὸν κύκλο» μᾶς ἀπέτρεπαν ἀπὸ τὸ νὰ καταπιαστοῦμε μὲ τὴ λύση του. Βέβαια ὁ ἄνθρωπος δὲν τὸ «βάζει κάτω», κι ἔτσι χιλιάδες κοφτερὰ μυαλὰ προσπάθησαν καὶ ἴσως μερικοὶ κατώρθωσαν νὰ τὸ ἐπιλύσουν. Τὸ πρόβλημα εἶχε τεθῆ στὴν ἀρχαιότητα περίπου ὡς ἑξῆς: Νὰ κατασκευασθῇ μὲ τὸν κανόνα καὶ τὸν διαβήτη τετράγωνο (ἢ ὀρθογώνιο) ἰσοδύναμο (ἴσου ἐμβαδοῦ) μὲ κύκλο ἀκτίνας R. Ἡ ἔκφραση «μὲ τὸν κανόνα καὶ τὸν διαβήτη» ἦταν συνήθης στοὺς Ἕλληνες μαθηματικοὺς σὲ πολλὰ προβλήματα. Φαίνεται, ἦταν ἡ ἁπλούστερη ἀλλὰ καὶ ἐξυπνότερη λύση, διαφορετικὴ καὶ ἐγκυρότερη ἀπὸ πολυπλοκώτερες ἄλλες (π.χ. ἀριθμητικές). Οἱ μαθηματικοὶ στὴν ἀρχαιότητα εἶχαν τὴν συνήθεια νὰ στέλνουν σὲ φίλους καὶ συναδέλφους προβλήματα πρὸς ἐπίλυση, πού, ἐνῷ εἶχαν ἁπλῆ διατύπωση, ἐφαίνονταν ἄλυτα. Φυσικὰ ὁ συνθέτης ἤξερε τὴν λύση! Γνωστὸς μαθηματικὸς ἔστειλε τὸ ἄλυτο πρόβλημα μὲ τὶς «Ἀγελάδες τοῦ Ἡλίου». Ἀκόμα καὶ τὸ Μαντεῖο τῶν Δελφῶν χρησμοδοτεῖ μὲ τὸ περίφημο «Δήλιον Πρόβλημα». 2. TO ΑΙΝΙΓΜΑ Οἱ ἀνακαλύψεις πραγματοποιοῦνται ὄχι μόνο ἀπὸ τὴν ἐπίπονη ἔρευνα, ἀλλὰ κυρίως ἀπὸ τὴν φαεινὴ ἰδέα: Ὁ Νεύτων μὲ τὸ μῆλο του, ὁ Φλέμιγκ μὲ τὴν πενικιλλίνη, ὁ Watson μὲ τὴν διπλῆ ἕλικα τοῦ DNA (εἶναι τὸ κηρύκειον τοῦ πρώτου γιατροῦ, τοῦ Ἑρμῆ;). Μήπως λοιπὸν οἱ ἀρχαῖοι ἔκρυβαν σὲ κοινὰ σύμβολα βαθειὲς γνώσεις τῆς Φύσης; Μήπως χρησιμοποιοῦσαν καὶ φράσεις κοινότυπες, ποὺ ἔκρυβαν μεγάλα μυστικά; Τὸ ἔναυσμα γιὰ τὴν ἔρευνα αὐτὴ ἦταν ἡ φράση «στὸ πῖ καὶ φῖ»=γρήγορα. Ψάχνοντας τὴν προέλευσή της, ἀνακάλυψα ὅτι ἦταν ἀπάντηση μαθητῆ σὲ σχετικὴ (μὲ τὸν τετραγωνισμὸ τοῦ κύκλου) ἐρώτηση διδασκάλου: «Ἐς πῖ τε καὶ φῖ». Μὰ τί σημαίνει ἡ παράδοξη φράση; Μήπως τὰ π καὶ φ εἶναι ἀριθμοί: Βέβαια δὲν πρέπει νὰ ξεχνᾶμε, ὅτι ὁ Ἑλληνικὸς πολιτισμὸς εἶναι ὁ μόνος ποὺ χρησιμοποίησε τὰ γράμματα σὲ τρεῖς βασικοὺς τομεῖς τῆς νόησης: γιὰ γραφή, ἀρίθμηση καὶ μουσικὴ (νότες). 3. H ΕΠΙΛΥΣΗ α. Ὁ ἀριθμὸς π: Τὸ παγκόσμιο αὐτὸ σύμβολο ἰσοῦται μὲ τὸν ἄρρητο ἀριθμὸ (ποὺ τὰ δεκαδικά του ψηφία δὲν ἐπαναλαμβάνονται) 3, 141593... Οἱ ἀρχαῖοι Ἕλληνες βέβαια ἤξεραν νὰ σχεδιάζουν ἄρρητους ἀριθμοὺς (ρίζες, κλάσματα κ.λπ.) καὶ τὴν ἀκριβῆ τιμὴ τοῦ π, τὴν ὁποίαν ἐχρησιμοποιοῦσαν στὴν ἀρχιτεκτονική, τὴν γλυπτικὴ κ.λπ. β. Ὁ ἀριθμὸς φ: Ὁ περίφημος «χρυσοῦς» ἀριθμός φ εἶναι ἀνακάλυψη τῶν ἀρχαίων Ἑλλήνων καὶ εἶναι ἡ λύση τοῦ ἑξῆς προβλήματος: Σὲ μία δεδομένη εὐθεῖα AB νὰ βρεθῇ σημεῖο M (μὲ τὸν κανόνα καὶ τὸν διαβήτη), ὥστε A M M B • • • (cid:2) (cid:2) = (cid:2) (cid:2) A M B M B AB Ἂν λύσουμε τὴν ἐξίσωση μὲ AM= 1, τότε MB= 1,618034... Ὁ χρυσοῦς ἀριθμός! Γιατί «χρυσοῦς»; Πρῶτον, γιατὶ ἔχει περίεργες ἰδιότητες. Ὁ ἀντίστροφός του ἔχει τὰ ἴδια δεκαδικὰ ψηφία (1/φ= 0,6180...), ὡς ἐπίσης καὶ τὸ τετράγωνό του (φ2= 1+φ= 2,6180...)! Δεύτερον μὲ πλευρὲς α καὶ α+φ κατασκεύαζαν «χρυσᾶ» ὀρθογώνια μὲ ἁρμονικὲς ἀναλογίες. Τὰ χρησιμοποιοῦσαν σὲ ὁποιαδήποτε αἰσθητικὴ μορφή, κατόψεις καὶ προσόψεις ναῶν, δάπεδα καὶ λοιπὰ καλλιτεχνήματα. Μέσα στὶς πολλὲς σειρὲς ἀριθμῶν ποὺ γνώριζαν οἱ Ἕλληνες, ἦταν καὶ οἱ