OI ΓΕΝΝΗΤΟΡΕΣ TOY ΠΑΓΚΟΣΜΙΟΥ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ κδ. - Ἀρχύτας Ὁ Ἀρχύτας ἐγεννήθη εἰς τὴν δωρικὴν ἀποικίαν τοῦ Τάραντος περὶ τὰ τέλη τοῦ 5ου π.X. αἰῶνος· ὑπῆρξε δὲ μέγας φιλόσοφος, μαθηματικός, μηχανικὸς καὶ στρατιωτικοπολιτικός. Ἐξελέγη ἑπτάκις στρατηγός, κατὰ παρέκκλισιν τοῦ νόμου ποὺ ἀπηγόρευε καὶ τὸ δὶς ἐκλέγεσθαι ἀκόμη· θεωρεῖται δὲ ὡς ὁ ἱστορικὰ ὑπαρκτὸς «παντελὴς φύλαξ» τῆς «πολιτείας» τοῦ Πλάτωνος. Ἡ πολιτεία τοῦ Ἀρχύτα ἐβασίζετο ἐπὶ τῆς ἀρχῆς «τῆς ἀληθεστάτης καὶ ἀρίστης ἰσότητος», δηλαδὴ τῆς γεωμετρικῆς, ἡ ὁποία τυγχάνει ἄσχετος πρὸς τὴν «μέτρῳ καὶ σταθμῷ καὶ ἀριθμῷ ἰσότητα» καὶ συνδέεται μὲ τὴν δικαιοσύνη καὶ τὴν λογιστική. Ἡ τοιαύτη ἰσότης δὲν στοχεύει εἰς τὴν κοινοκτησία ἢ ἰσοκτησία ἀλλὰ εἰς τὴν ἀνισοκτησία· λειτουργεῖ δὲ περιοδικὰ πρὸς μερικὴν ἐξισορρόπησιν τῶν οἰκονομικῶν ἀνισοτήτων, ὥστε νὰ προλαμβάνωνται οἱ ἐξαιτίας τῶν μεγάλων κοινωνικῶν διαφορῶν στάσεις. Ἡ λογιστικὴ τοῦ φιλοσόφου ἀποτελεῖ τὸ ἀντίστοιχο τῆς πλατωνικῆς διαλεκτικῆς, ἀφοῦ ὑπερέχει πασῶν τῶν ἐπιστημῶν καὶ τεχνῶν, πραγματευομένη τὰ ἀντικείμενά της κατὰ τρόπον ἐναργέστερον καὶ τῆς γεωμετρίας καὶ θεμελιώνοντας λογικὰ κι αὐτὰ ἀκόμη ποὺ ἡ γεωμετρία ἀδυνατεῖ νὰ θεμελιώσῃ. Ἡ γεωμετρία, ἡ ἀριθμητική, ἡ σφαιρικὴ (= στερεομετρία) καὶ ἡ μουσικὴ ἀποτελοῦν κατὰ τὸν Ἀρχύτα «ἀδελφεὰ μαθήματα», ἐπειδὴ μελετοῦν τὰ δύο πρώτιστα καὶ ἰσότιμα «εἴδη» τοῦ ὄντος, ποὺ εἶναι τὰ μεγέθη καὶ οἱ ἀριθμοί· θεωροῦνται δὲ ὡς «προοίμια» γιὰ τὸ ὑπέρτατο μάθημα τῆς «λογιστικῆς» ἢ τῆς διαλεκτικῆς κατὰ τὸν Πλάτωνα («Εὐθύδημος»). Ἀξιοσημείωτες θεωροῦνται καὶ οἱ παιδαγωγικο-διδακτικὲς ἀντιλήψεις τοῦ Ἀρχύτα καὶ ἰδιαίτερα ἡ θεωρία του περὶ τοῦ τρόπου ἀποκτήσεως τῶν γνώσεων: «Διότι πρέπει ἢ ἀφοῦ μάθῃς κάτι παρ’ ἄλλου ἢ ἀφοῦ ἀνακαλύψῃς ὁ ἴδιος ἐκεῖνα ποὺ δὲν γνωρίζεις, νὰ γίνῃς γνώστης μετ’ ἀκριβείας. Ἡ μάθησις προέρχεται ἀφ’ ἑνὸς μὲν διὰ τῆς μεταδόσεως τῶν γνώσεων, ἀφ’ ἑτέρου δὲ διὰ τῆς δημιουργικῆς ἀνακαλύψεως. Εἰς κάθε περίπτωσιν πάντως ἀπαιτεῖται ἡ μέθοδος, ἄνευ τῆς ὁποίας τίποτε δὲν εἶναι κατορθωτόν». Ὁ Ἀρχύτας θεωρεῖται θεμελιωτὴς τῆς κινητικῆς γεωμετρίας, διότι αὐτὸς πρῶτος ὁρίζει τὴν γραμμὴ ὡς τόπο ποὺ γράφει ἕνα σημεῖον κινούμενον. Μελέτησε τὴν γραμμὴ διπλῆς καμπυλότητος, ποὺ παράγεται ἀπὸ τὴν τὴν τομὴ τῶν ἐπιφανειῶν κυλίνδρου, κώνου καὶ τοῦ στερεοῦ ποὺ σχηματίζεται ἐκ τῆς περιστροφῆς τῆς περιφερείας περὶ μίαν ἐφαπτομένην του (σφαίρας). Διὰ τῶν τομῶν αὐτῶν ἐπέτυχε τὴν λύσιν τοῦ προβλήματος τῶν δύο μέσων ἀναλόγων («δύο μέσας ἀνὰ λόγον εὑρεῖν»), κάτι ποὺ καταλήγει εἰς τὴν ἐξεύρεσιν μιᾶς τρίτης ρίζας τοῦ λόγου q/p καὶ ἐκεῖθεν εἰς τὴν λύσιν τοῦ Δηλίου προβλήματος ἤτοι τοῦ τετραγωνισμοῦ τοῦ κύκλου. «Ἡ λύσις τοῦ Ἀρχύτου δὲν ἀποτελεῖ ὑπερβολικὴν περιπλοκή, ὅπως πολλοὶ ἀναφέρουν, ἀλλ’ ἕνα ἔξοχον ἐπίτευγμα», κατὰ τὸν νομπελίστα φυσικὸ-μαθηματικὸν Er. Schvödinger. Ὁ Ar. Szabó, παρατηρώντας τὶς σχέσεις μουσικῶν καὶ ἀριθμητικῶν ἀναλογιῶν, κατέληξε εἰς τὸ συμπέρασμα ὅτι ἡ ἀριθμητικὴ τοῦ Εὐκλείδη -δύο ἐκ τῶν στοιχείων της ἀποδίδονται εἰς τὸν Ἀρχύτα ἐν ὅλῳ ἢ ἐν μέρει- ἔχει μουσικὴν προέλευσιν. Ὁ Κλαύδιος Πτολεμαῖος, ποὺ διέσωσε μερικὰ ἀποσπάσματα ἐκ τοῦ μουσικοῦ συγγραμμάτος τοῦ φιλοσόφου, μᾶς πληροφορεῖ ὅτι ὑπῆρξε μεγαλοφυὴς μαθηματικὸς καὶ μουσικός. Ἡ λύσις τοῦ προβλήματος τῶν δύο μέσων ἀναλόγων, ὁδηγεῖ βέβαια εἰς τὴν διαίρεσιν παντὸς μουσικοῦ διαστήματος εἰς τρεῖς ἴσες κλίμακες. Ὁ Ἀρχύτας ὡστόσο διέκρινε καὶ τρία γένη μουσικῶν συμφωνιῶν: Τὸ ἐναρμόνιον, τὸ χρωματικὸν καὶ