Καὶ ἡ 5η μέθοδος ἀποδείξεως. ἢ «ἐξαντλητική», ἀνακαλύφθηκε ἀπὸ τοὺς Εὐκλείδη καὶ Αρχιμήδη Οἱ μέθοδοι ἀποδείξεως στὰ μαθηματικά, ποὺ χρησιμοποιεῖ ὁ Εὐκλείδης στὰ «Στοιχεῖα» του, εἶναι τέσσερις: 1) ἡ συνθετική, 2) ἡ τῆς εἰς ἄτοπον ἀπαγωγῆς, 3) ἣ ἀναλυτικὴ καὶ 4) ἡ τῆς τελείας ἐπαγωγῆς. Ἔκ τῶν μεθόδων αὐτῶν ἡ συνθετικὴ εἶναι ἐκείνη, ποὺ κατ ̓ ἐξοχὴν χρησιμοποιεῖται στὴν μαθηματικὴν ἐπιστήμη, τὴν ὁποία ὁ ̓Αριστοτέλης ὀνομάζει δεικτιην ἣ κατηγορικὴν (Αναλυτικὰ Πρότερα»). Μία πέμπτη μέθοδος ἀποδείξεως θεωρεῖται καὶ ἡ ἐξαντλητικὴ μέθοδος, τὴν ὁποίαν ἀνεκάλυψεν, ὧς λέγεται, ὁ Εὔδοξος καὶ τὴν ὁποίαν ἀνέπτυξε καὶ ἐφάρμοσε ἔτι περαιτέρω ὁ ̓Αρχιμήδης. Ἡ ἐν λόγῳ μέθοδος ἐφαρμόζεται στὴν ̓Ανωτέρα Μαθηματικὴν ̓Ανάλυσιν διὰ τῆς «λήψεως τῶν ὁρίων». Ὃ ἀείμνηστος, διαπρεπὴς καθηγητὴς Εὐ. Σ. Σταμάτης τὸ 1953 εἶχεν ἀνακοινώσει στὴν ̓Ακαδημίαν ̓Αθηνῶν, ὅτι ὁ Εὐκλείδης χρησιμοποιεῖ στὰ «Στοιχεῖα» του τὴν μέθοδο τῆς τελείας ἐπαγωγῆς, τὴν ὁποίαν ὀνομάζει καὶ «ἀναδρομικὸν συλλογισμὸν» καὶ ἀναφέρει ὅτι ἡ ἐν λόγῳ μέθοδος ἐφαρμόζεται σὲ πολλὰ θεωρήματα τῆς θεωρίας τῶν ἀναλογιῶν καὶ τῆς θεωρίας τῶν ἀκεραίων ἀριθμῶν. Μεταξὺ αὐτῶν ἀναφέρει τὰ θεωρήματα ἐκ τῶν «Στοιχείων»: 3,14, 27,35 τοῦ ΝΠ θιθλίου, 13 τοῦ ΥΠ] καὶ 20 τοῦ ΙΧ. Κατὰ τὸ 1910 ὁ Ἰταλὸς μαθηματικὸς 6. Ψαοσα εἶχεν ἐπιστήσει τὴν προσοχὴ τῶν συγχρόνων του ἐπιστημόνων ἐπὶ τῆς ἐφαρμογῆς τοῦ ἀποδεικτικοῦ αὐτοῦ συλλογισμοῦ στὰ θεωρήματα 8 καὶ 9 τοῦ ΙΧ διόλίου τῶν «Στοιχείων» τοῦ Εὐκλείδου. Ἢ μέθοδος τῆς τελείας ἐπαγωγῆς ἐθεωρεῖτο ὑπό τινων ὡς ἀνακάλυψι νεωτέρων μαθηματικῶν ὡς τοῦ Μαυρολύκου, τοῦ Βειποι]ῇή ἢ τοῦ Ραςσα|, ὅμως ἡ μέθοδος αὐτὴ ἀνάγεται ἀκόμη καὶ στοὺς Πυθαγορείους. Ἰδοῦ τί γράφει ὁ Εὖ. Σ. Σταμάτης στὴ σπουδαία μικρή του πραγ-