Καὶ ἡ 5η μέθοδος ἀποδείξεως. ἢ «ἐξαντλητική», ἀνακαλύφθηκε ἀπὸ τοὺς Εὐκλείδη καὶ Αρχιμήδη Οἱ μέθοδοι ἀποδείξεως στὰ μαθηματικά, ποὺ χρησιμο- ποιεῖ ὁ Εὐκλείδης στὰ «Στοιχεῖα» του, εἶναι τέσσερις: 1) ἡ συνθετική, 2) ἡ τῆς εἰς ἄτοπον ἀπαγωγῆς, 3) ἣ ἀναλυ- τικὴ καὶ 4) ἡ τῆς τελείας ἐπαγωγῆς. Ἔκ τῶν μεθόδων αὐτῶν ἡ συνθετικὴ εἶναι ἐκείνη, ποὺ κατ᾽ ἐξοχὴν χρησι- μοποιεῖται στὴν μαθηματικὴν ἐπιστήμη, τὴν ὁποία ὁ ᾿Αριστοτέλης ὀνομάζει δεικτιην ἣ κατηγορικὴν (Ανα- λυτικὰ Πρότερα»). Μία πέμπτη μέθοδος ἀποδείξεως θε- ωρεῖται καὶ ἡ ἐξαντλητικὴ μέθοδος, τὴν ὁποίαν ἀνεκά- λυψεν, ὧς λέγεται, ὁ Εὔδοξος καὶ τὴν ὁποίαν ἀνέπτυξε καὶ ἐφάρμοσε ἔτι περαιτέρω ὁ ᾿Αρχιμήδης. Ἡ ἐν λόγῳ μέθοδος ἐφαρμόζεται στὴν ᾿Ανωτέρα Μαθηματικὴν ᾿Ανάλυσιν διὰ τῆς «λήψεως τῶν ὁρίων». Ὃ ἀείμνηστος, διαπρεπὴς καθηγητὴς Εὐ. Σ. Σταμάτης τὸ 1953 εἶχεν ἀνακοινώσει στὴν ᾿Ακαδημίαν ᾿Αθηνῶν, ὅτι ὁ Εὐκλείδης χρησιμο- ποιεῖ στὰ «Στοιχεῖα» του τὴν μέθοδο τῆς τελείας ἐπαγωγῆς, τὴν ὁποί- αν ὀνομάζει καὶ «ἀναδρομικὸν συλλογισμὸν» καὶ ἀναφέρει ὅτι ἡ ἐν λόγῳ μέθοδος ἐφαρμόζεται σὲ πολλὰ θεωρήματα τῆς θεωρίας τῶν ἀνα- λογιῶν καὶ τῆς θεωρίας τῶν ἀκεραίων ἀριθμῶν. Μεταξὺ αὐτῶν ἀνα- φέρει τὰ θεωρήματα ἐκ τῶν «Στοιχείων»: 3,14, 27,35 τοῦ ΝΠ θιθλίου, 13 τοῦ ΥΠ] καὶ 20 τοῦ ΙΧ. Κατὰ τὸ 1910 ὁ Ἰταλὸς μαθηματικὸς 6. Ψαοσα εἶχεν ἐπιστήσει τὴν προσοχὴ τῶν συγχρόνων του ἐπιστημόνων ἐπὶ τῆς ἐφαρμογῆς τοῦ ἀποδεικτικοῦ αὐτοῦ συλλογισμοῦ στὰ θεωρή- ματα 8 καὶ 9 τοῦ ΙΧ διόλίου τῶν «Στοιχείων» τοῦ Εὐκλείδου. Ἢ μέθοδος τῆς τελείας ἐπαγωγῆς ἐθεωρεῖτο ὑπό τινων ὡς ἀνακάλυψι νεωτέρων μαθηματικῶν ὡς τοῦ Μαυρολύκου, τοῦ Βειποι]ῇή ἢ τοῦ Ραςσα|, ὅμως ἡ μέθοδος αὐτὴ ἀνάγεται ἀκόμη καὶ στοὺς Πυθαγορεί- ους. Ἰδοῦ τί γράφει ὁ Εὖ. Σ. Σταμάτης στὴ σπουδαία μικρή του πραγ-