Καὶ μία γεωμετρικὴ κατασκευή του ῾√καλούμενος φυσικὸς ἀριθμὸς e=2,718281828459045... ἀποτελεῖ τὴν βάση τῶν φυσικῶν λογαρίθμων. Ὑπεισέρχεται σὲ πλεῖστες ἐπιστῆμες, ὅπως τὴν Φυσική, τὴν Γεωλογία, τὴν Βιολογία κ.ἄ., ἀκόμη στὸ τραπεζικὸ σύστημα καὶ τὴν ἐγκληματολογία. Πολλοὶ κατὰ καιροὺς προσπάθησαν νὰ ἀνεύρουν τὴν γεωμετρικὴ ἔκφραση τοῦ ἀριθμοῦ αὐτοῦ, ὅμως ἀπέτυχαν, διότι φαίνεται τελικῶς ὅτι δὲν ἔχει γεωμετρικὴ ἔκφραση. Σήμερα ὑπάρχουν δύο μαθηματικοὶ τύποι, οἱ ὁποῖοι δίδουν τὸν ἀριθμὸν e. Ὁ ἕνας τύπος λέγει ὅτι ὁ ἀριθμὸς e εἶναι τὸ ὅριον τῆς νιοστῆς δυνάμεως τῆς ἐκφράσεως (1+1/ν), καθὼς ὁ ν γίνεται ὅλο καὶ μεγαλύτερος, δηλαδή, καθὼς ὁ ν τείνει στὸ ἄπειρον (ν= 1, 2, 3, 4... ∞), ἤτοι ὅριον (1+1/ν)ν =e ν→∞ Ὁ δεύτερος τύπος λέγει ὅτι ὁ ἀριθμὸς e εἶναι τὸ ἄθροισμα τῆς σειρᾶς: 1 1 1 1 1 (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) 1 + + + + + ... = e 1! 2! 3! 4! 5! Οἱ ἀνωτέρω δύο τύποι εἶναι οἱ μόνοι ποὺ δίδονται γιὰ τὴν παραγωγὴ τοῦ ἀριθμοῦ e στὴν πραγκόσμια μαθηματικὴ βιβλιογραφία. Ἐμεῖς σήμερα θὰ ἐκθέσουμε μία γεωμετρικὴ κατασκευὴ τοῦ ἀριθμοῦ e μὲ μεγάλη προσέγγιση, καὶ ἴσως ἐν καιρῷ παρουσιάσουμε γιὰ πρώτη φορὰ καὶ ἕνα τρίτο ἀλγεβρικὸ τύπο, πολὺ ἁπλό, ὁ ὁποῖος δηλώνει καὶ τὴν βαθύτερη οὐσία τοῦ ἀριθμοῦ e. Προσεγγιστικὴ κατασκευὴ τοῦ e = 2,71828... Κατασκευάζουμε τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευρᾶς ΑΒ=1 (βλέπε Σχῆμα 1). Μὲ κέντρο τὸ Ο, ποὺ εἶναι τὸ μέσον τῆς πλευρᾶς ΑΔ=1 τοῦ τετραγώνου, γράφουμε περιφέρεια κύκλου (O, τὸ ½). Φέρομε τὴν εὐθεῖα ΓΟ, ἡ ὁποία τέμνει τὴν περιφέρεια τοῦ κύκλου εἰς τὸ σημεῖον Ε. Ὑπολογίζουμε τὴν τιμὴ τῆς ὑποτείνουσας ΟΓ τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου ΟΔΓ, ἀπὸ τὴν ὁποία ἂν ἀφαιρέσουμε τὴν ἀκτῖνα ΟΕ = ½ εὑρίσκουμε τὴν τιμὴ ΓΕ=0,618033989... = φ. Ὥστε θὰ ἔχουμε: 1 ΓΕ = 0,618033989... = φ Λαμβάνουμε τώρα ἐπὶ τῆς πλευρᾶς ΔΑ τοῦ τετραγώνου, τμῆμα ΔΖ ἴσο μὲ ΓΕ=φ, ἤτοι 2 ΔΖ = ΓΕ = φ Ἑνώνουμε μὲ τὴν εὐθεῖα ΖΒ τὰ σημεῖα Ζ καὶ Β καὶ φέρουμε τὸ ὕψος ΑΗ τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου ΖΑΒ. Ὑπολογίζουμε τώρα τὴν τιμὴ τοῦ ὕψους ΑΗ. Ἡ τιμὴ τοῦ ΖΑ εἶναι ἴση πρὸς: ΔΑ-ΔΖ = 1-φ, ἡ ὁποία ἰσοῦται μὲ φ2, ἤτοι θὰ εἶναι: 3 ΖΑ = 1-φ = φ2