Καὶ μία γεωμετρικὴ κατασκευή του ῾√καλούμενος φυσικὸς ἀριθμὸς e=2,718281828459045... ἀποτελεῖ τὴν βά- ση τῶν φυσικῶν λογαρίθμων. Ὑπεισέρχεται σὲ πλεῖστες ἐπιστῆμες, ὅπως τὴν Φυσική, τὴν Γεωλογία, τὴνΒιολογία κ.ἄ., ἀκόμη στὸ τρα- πεζικὸ σύστημα καὶ τὴν ἐγκληματολογία. Πολλοὶ κατὰ καιροὺς προ- σπάθησαν νὰ ἀνεύρουν τὴν γεωμετρικὴ ἔκφραση τοῦ ἀριθμοῦ αὐτοῦ, ὅμως ἀπέτυχαν, διότι φαίνεται τελικῶς ὅτι δὲν ἔχει γεωμετρικὴ ἔκφραση. Σήμερα ὑπάρχουν δύο μαθηματικοὶ τύποι, οἱ ὁποῖοι δίδουν τὸν ἀριθμὸν e. Ὁ ἕνας τύπος λέ- γει ὅτι ὁ ἀριθμὸς eεἶναι τὸ ὅριον τῆς νιοστῆς δυνάμεως τῆς ἐκφράσεως (1+1/ν), καθὼς ὁ νγίνεται ὅλο καὶ μεγαλύτερος, δηλαδή, καθὼς ὁ ντείνει στὸ ἄπειρον (ν= 1, 2, 3, 4... ∞), ἤτοι ὅριον (1+1/ν)ν=e ν→∞ Ὁ δεύτερος τύπος λέγει ὅτι ὁ ἀριθμὸς eεἶναι τὸ ἄθροισμα τῆς σειρᾶς: 1 + 1 � 1! + 1 � 2! + 1 � 3! + 1 � 4! + 1 � 5! ... = e Οἱ ἀνωτέρω δύο τύποι εἶναι οἱ μόνοι ποὺ δίδονται γιὰ τὴν παραγωγὴ τοῦ ἀριθμοῦ eστὴν πρα- γκόσμια μαθηματικὴ βιβλιογραφία. Ἐμεῖς σήμερα θὰ ἐκθέσουμε μία γεωμετρικὴ κατασκευὴ τοῦ ἀριθ- μοῦ eμὲ μεγάλη προσέγγιση, καὶ ἴσως ἐν καιρῷ παρουσιάσουμε γιὰ πρώτη φορὰ καὶ ἕνα τρίτο ἀλγε- βρικὸ τύπο, πολὺ ἁπλό, ὁ ὁποῖος δηλώνει καὶ τὴν βαθύτερη οὐσία τοῦ ἀριθμοῦ e. Προσεγγιστικὴ κατασκευὴ τοῦ e= 2,71828... Κατασκευάζουμε τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευρᾶς ΑΒ=1 (βλέπε Σχῆμα 1). Μὲ κέντρο τὸ Ο, ποὺ εἶναι τὸ μέσον τῆς πλευρᾶς ΑΔ=1 τοῦ τετραγώνου, γράφουμε περιφέρεια κύκλου (O, τὸ ½). Φέρομε τὴν εὐθεῖα ΓΟ, ἡ ὁποία τέμνει τὴν περιφέρεια τοῦ κύκλου εἰς τὸ σημεῖον Ε. Ὑπολογίζουμε τὴν τιμὴ τῆς ὑποτείνουσας ΟΓ τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου ΟΔΓ, ἀπὸ τὴν ὁποία ἂν ἀφαιρέσουμε τὴν ἀκτῖνα ΟΕ = ½εὑρίσκουμε τὴν τιμὴ ΓΕ=0,618033989... = φ. Ὥστε θὰ ἔχουμε: ΓΕ = 0,618033989... = φ 1 Λαμβάνουμε τώρα ἐπὶ τῆς πλευρᾶς ΔΑ τοῦ τετραγώνου, τμῆμα ΔΖ ἴσο μὲ ΓΕ=φ, ἤτοι ΔΖ = ΓΕ = φ 2 Ἑνώνουμε μὲ τὴν εὐθεῖα ΖΒ τὰ σημεῖα Ζ καὶ Β καὶ φέρουμε τὸ ὕψος ΑΗ τοῦ ὀρθογωνίου τρι- γώνου ΖΑΒ. Ὑπολογίζουμε τώρα τὴν τιμὴ τοῦ ὕψους ΑΗ. Ἡ τιμὴ τοῦ ΖΑ εἶναι ἴση πρὸς: ΔΑ-ΔΖ = 1-φ, ἡ ὁποία ἰσοῦται μὲ φ2, ἤτοι θὰ εἶναι: ΖΑ = 1-φ = φ2 3